1. Força Dinâmica Harmônica: conceito e equação de movimento

Quando uma estrutura sofre a ação de uma força que varia no tempo de forma periódica, dizemos que está sob excitação harmônica. Para um sistema de 1 GDL, a equação diferencial é:

$M\,\ddot u(t) + c\,\dot u(t) + k\,u(t) = p_0\,\sin(\omega t)$

onde $M$ é a massa equivalente, $c$ o amortecimento viscoso, $k$ a rigidez, $p_0$ a amplitude da força e $\omega$ a frequência de excitação.

Definimos ainda:

• Frequência natural: $\omega_n = \sqrt{\tfrac{k}{M}}$ e $f_n = \tfrac{\omega_n}{2\pi}$
• Razão de amortecimento: $\zeta = \tfrac{c}{2\sqrt{kM}}$
• Razão de frequência: $r = \tfrac{\omega}{\omega_n}$

2. Resposta em regime permanente e fator de amplificação

A resposta após o transitório é harmônica com a mesma frequência da excitação, mas com amplitude e fase diferentes. A amplitude $U$ do deslocamento em regime permanente é:

$U = \dfrac{p_0/k}{\sqrt{\big(1-r^2\big)^2 + \big(2\zeta r\big)^2}} \quad\Rightarrow\quad \text{FA} = \dfrac{U}{p_0/k}$

O ângulo de fase $\varphi$ entre a força e o deslocamento é:

$\tan\varphi = \dfrac{2\zeta r}{1-r^2}$

Observações práticas em estruturas de concreto:

• Para $r \ll 1$, o comportamento é quase estático ($\text{FA}\approx 1$).
• Perto de $r=1$ (ressonância), o amortecimento controla a amplitude. Em concreto armado, $\zeta$ típico está entre 2% e 5%.
• Para $r \gg 1$, o deslocamento decai, mas a resposta de aceleração pode crescer.

3. Exemplo numérico aplicado

Considere um pórtico representado por $M=10\,000\ \text{kg}$, $k=2{\times}10^7\ \text{N/m}$ e $\zeta=5\%$. Uma força dinâmica $p_0=10\,000\ \text{N}$ atua com $\omega=\omega_n$.